数学的模型
史宁中
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人们通过抽象和推理，逐渐形成了数学研究的对象和概念，创建了数学运算的方法和法则，得到了数学命题的假设与结论。这样的过程历经数干年，一个庞大的数学王国就建立起来了。与此同时，人们不断地把数学创建的方法和结论应用到现实生活和生产实践中，这就是数学的应用。数学的应用相当广泛，从日常生活购物的斤斤两两，到浩瀚宇宙星座间距离的度量，几乎涉及现实生活的各个方面，涉及生产实践的各个领域。数学模型属于数学的应用，但与通常所说的数学应用有着非常本质的区别，这个区别导致数学模型的思想与数学应用的思想也不尽相同。
之所以可以把模型称为一种数学思想，这与数学模型的功能有关。虽然数学模型属于数学应用的范畴，但主要是指：用数学所创造出来的概念、原理和方法，来理解、描述和解决现实世界中的一类问题。这样的一类问题往往蕴含着某种事物发生的规律性，或者说，蕴含着某种事物发展的必然性。因此，模型思想是指：能够有意识地用数学的概念、原理和方法，理解、描述以及解决现实世界中一类问题的那种思想。
掌握模型思想就是：把握现实世界一类问题的本质与规律，用恰当的数学语言描述问题的本质与规律，用合适的数学符号表达问题的本质与规律，最后得到刻画一类事物的数学模型。
简而言之，模型思想就是用数学的语言讲述现实世界的故百思特网事；数学模型构建了数学与现实世界的桥梁，借助数学模型使数学回归于现实世界。
数学对于实现世界的回归是极为重要的，也就是说，数学模型对于数学的发展是极为重要的，因为数学家必然会从数学的角度审视模型中的数学表达，汲取“创造数学”的灵感，促进数学自身的发展。比如微积分就是在讲述现实世界的故事中产百思特网生与发展起来的。甚至可以认为，数学模型的构建与应用，是现代数学得以健康发展的重要源泉。
冯诺依曼曾警告说，数学经过多次抽象之后可能出现近亲繁殖、退化的危险。这一点应该得到充分的重视，很显然，避免数学退化最简单的办法就是注重数学与现实世界的联系，而联系的最重要途径就是数学模型。合理的思维过程具有理性加工的功能，而现实世界的事物一旦经过理性加工，或者说，一旦经过数学的描述，不仅具有了一般性，而且具有了真实性。而数学模型就是这种理性加工的范例，数学对于解释世界是无能为力的，但利用数学能够更好地描述现实世界。
正因为如此，数学模型的价值取向往往不是数学本身，而是数学模型在描述现实世界中所起到的作用；数学模型的研究手法也不是单向的，需要从数学的角度思考，更需要从现实问题的角度思考。也只有这样，才可能启发数学家的灵感，创造出新的数学。
不难想象，除却对所要研究的现实世界的那一类实物本身的了解之外，模型思想也是建立在抽象和推理之上的，这是因为无论是从数学的角度把握实物的本质与规律，还是用数学的语言描述实物的本质与规律，知识基础是对数学内容的把握，思维基础就是抽象和推百思特网理。
综上所述，在数学教学活动中，让学生了解数学模型，特别是了解数学模型的构建过程是非常重要的。因为在这个过程中，可以让学生体会：如何用数学的“眼睛”观察现实世界，如何用数学的“思维”思考现实世界，如何用数学的“语言”描述现实世界。
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