最大公约数之和
本文主要讲一下最大公约数的和的推导过程（因为其太过经典，其实是博主老忘)。
原式：
\[\ sum _ { I=1}^n\sum_{j=1}^n\gcd(i,j)
\]莫比乌斯反演经典入门题。
话不多说，进入正文。
\[\begin{aligned}
\ sum \ limits _ { I=1}^n\sum\limits_{j=1}^ngcd(i,j)\ \
=\ sum \ limits _ { k=1}^nk\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n[gcd(i,j)=k]\ \
=\ sum \ limits _ { k=1}^nk\sum\limits_{i=1}^{ \左侧\左侧\地板\地板{ n } { k }右侧\地板} \ sum \ limits _ { j=1}^{ \左侧\地板\地板{ n } { k }右侧\地板}[gcd(i，j)=1] \\
=\ sum \ limits _ { k=1}^nk\sum\limits_{i=1}^{ \左侧\左侧\右侧\右侧{ k } \ sum \ limits _ { j=1}^{ \左侧\左侧\左侧\右侧{ k } \右侧\左侧} \(gcd(I，j))
\ end {对齐}
\]根据\(\=\* I \)，即\(\(n)=\ sum \ limits _ { d | n } \ mu(d)\)，得：
\[\ sum \ limits _ { k=1}^nk\sum\limits_{i=1}^{ \左侧\右侧\地板\地板{ n } { k }右侧\地板} \ sum \ limits _ { j=1}^{ \左侧\地板\地板{ n } { k }右侧\地板}\sum\limits_{d | (i，j)}\mu(d)
\]我们先考虑这样一个式子如何化简：
\[\ sum \ limites _ { I=1}^{ \左侧\左侧\右侧\右侧{ k } \ sum \ limites _ { d | I } \ mu(d)
\]把枚举\(i\)改成枚举\(d\)，\(\左侧\地板\地板{ n } { k }右侧\地板\)以内是\(d\)的倍数的数有\(\左侧\地板\ dfrac { n } { dk } \右侧\地板\)个，得：
\[\ sum \ limits _ { d=1}^{ \左侧\左侧\地板\地板{ n } { k }右侧\地板} \左侧\地板\地板{ n } { dk }右侧\地板\亩(d)
\]我们先枚举\(d\)，并把这个式子代入到刚才我们化简得那个式子中去：
\[\begin{aligned}
\ sum \ limits _ { k=1}^nk\sum\limits_{i=1}^{ \左侧\右侧\地板\地板{ n } { k }右侧\地板} \ sum \ limits _ { j=1}^{ \左侧\地板\地板\地板{ n } { k }右侧\地板}\sum\limits_{d | (i，j)}\mu(d) \
=\ sum \ limits _ { k=1}^nk\sum\limits_{d=1}^{ \left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor}\left\lfloor\dfrac{n}{dk}\right\rfloor^2\mu(d)
\ end {对齐}
\]再令\(T=dk\)，并枚举\(T\)(其实下面的式子和上面的式子里\(d\)和\(k\)反过来了，不过我懒得改了QwQ):
\[\ sum _ { t=1}^n\sum_{d \ mid t } d \ mu(\ frac TD)\ f floor \ frac nt\rfloor^2
\]至此，就已经是一般形式了，这个可以用整除分块快速求解。
但是，这道题还没有完，还可以进一步转化。
我们知道\(\varphi=\mu * id\)，正好式子里存在！所以：
\[\ sum _ { t=1}^n\varphi(t)\lfloor\frac nt\rfloor^2
\]现在，这道题才算是真正结束了（感觉一下子式子里啥都没了QwQ)
\[\_EOF\_
\]
本文来自博客园，作者：xixike，转载请注明原文链接：https://www .cn博客。com/xixixike/p/15713088。超文本标记语言
内容来源网络，如有侵权，联系删除，本文地址：https://www.230890.com/zhan/154011.html