穿过阵列
CF1588F Jumping Through the Array
给定长度为(n)的序列(a)和排列(p ),可以实现下列操作：
给出\(l，r\)。seek \(\ sum \ limits _ { I=l } { r } a _ I \)；
给出\(x，y\)。让我们将\(I \u to p _ I \u)连接成置换环，并将\(y \u)加到环上\(x \u)所在的每个点的权重上。
给出\(x，y\)。Exchange \(p_x，p_y\)。
\ 1 \ le n \ le 2 \ cdot 10^5,-10^8\le a _ I \ le 10^8,1\le p _ I \ le n，1\le q\le 2\cdot 10^5\)。
时间限制\(\text{8000ms}\)，空间限制\(\text{512MB}\)。
Solution
按照时间根考虑分治，我们将一起处理\(B\)个连续操作。
我们把\(2\)操作的操作点(即\(x\)和\(3\)操作的操作点(x，y\)染成黑色，只操作这些黑点。
在操作之前考虑每个置换环，如下所示：
我们把它分成几个“链”(红色区域)，可以发现每个链在操作中都是作为一个整体出现的，也就是，\(\Delta\)相等：
只有\(2B\)个链，所以我们只需要为每个链维护\(\Delta\)。
对于\(1\)操作，区间\([l，r]\)的点权重之和为\(\sum\limits_{ I=l} {r} \)加上\(\sum\limits_{每个链} \ delta \。
对于\(2\)操作，它必须将\(y\)和复杂性\ (o (b) \)添加到当前\(x\)所在的链和该链所在的环的其他链中。
对于\(3\)运算，我们交换两个黑点的链号，即\(O(1)\)。
在这一点上，我们可以以(o(\ frac { q } { b } \ CDOT(B2 \ log n))\)的复杂性来解决这个问题。
取\(B=\sqrt{n/\log n}\)，时间复杂度\(O(q\sqrt{n\log n})\)。
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