和的立方,自然数立方和公式的推导

平方和的推导使用立方公式和平方和的立方：

(n ^ 1)-n=3n ^ 3n ^ 1

记住sn=1 2.n，TN=1 2.n=n (n 1)/2。

(1)将等式1至n相加，得到：

(n ^ 1)-n=3n ^ 3n1

(n 1) -1=3Sn 3Tn n

这给出了Sn=n(n ^ 1)(2n ^ 1)/6。

同样，找到立方体并使用4次方公式：

(1)^4-n^4=4n北部6n 4n 1

例如：

2^3=(1 1)^3=1^3 3*1^2 3*1 1

3^3=(2 1)^3=2^3 3*2^2 3*2 1

4^3=(3 1)^3=3^3 3*3^2 3*3 1。

(北1)^3=(n 1)^3=n^3 3*n^2 3n 1

去掉中间的步骤，将右边的第一项移到左边：

2^3 1^3=3*1^2 3*1 1

3^3 2^3=3*2^2 3*2 1

4^3 3^3=3*3^2 3*3 1。

(北1)^3-n^3=3*n^2 3n 1

把两边分开加。

(北1)^3-1^3=3(1^2 2^2 3^2 4^2 …… n^2)北3(1 2 3 4……北)

1^2 2^2 3^2 4^2……n^2=[(n 1)^3-1^3-3(1 2 3 4……n)-n]/3

完成。

1^2 2^2 3^2 4^2……n^2=n*(n 1)(2n 1)/6

扩展数据：

级数求和的常用方法：

1.公式方法：

算术级数：的求和公式。

Sn=n(a1 an)/2=na1 n(n-1)d/2

等比级数求和公式：

sn=na1(q=1)sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q(q1)

2.错位减法。

适用题型：应用于等差等比公式的级数形式{an}和{bn}分别为等差级数和几何级数。

Sn=a1b1 a2b2 a3b3 … anbn

例如：an=a1(n-1)d bn=a1 q(n-1)cn=an bntn=a1b1a2b 3a 3b 4 . an bn。

qTn=a1 B2 a2 B3 a3 B4…a(n-1)bn anb(n 1)

TN-qTn=a1 B1 B2(a2-a1)B3(a3-a2)…bn[an-a(n-1)]-anb(n-1)

Tn (1-q)=a1b1-anb (n1) d (b2b3b4.bn)=a1 B1-an B1 q n d B2[1-q(n-1)]/(1-q)TN=上式/(1-q)。

3.拆分术语方法。

通项公式适用于分数形式，即把一个项分成两个或两个以上的差分形式，即an=f(n ^ 1)-f(n)，然后中间的很多项累加起来就偏移了。

平方和的推导使用三次公式：

(n ^ 1)-n=3n ^ 3n ^ 1

记住sn=1 2.n，TN=1 2.n=n (n 1)/2。

(1)将等式1至n相加，得到：

(n ^ 1)-n=3n ^ 3n1

(n 1) -1=3Sn 3Tn n

这给出了Sn=n(n ^ 1)(2n ^ 1)/6。

同样，找到立方体并使用4次方公式：

(1)^4-n^4=4n北部6n 4n 1

例如：

2^3=(1 1)^3=1^3 3*1^2 3*1 1

3^3=(2 1)^3=2^3 3*2^2 3*2 1

4^3=(3 1)^3=3^3 3*3^2 3*3 1。

(北1)^3=(n 1)^3=n^3 3*n^2 3n 1

1.从1到n:1 ^ 2 ^ 3的平方和求导。n=n(n ^ 1)(2n ^ 1)/6

一，二，三。n=n(n ^ 1)(2n ^ 1)/6

(a1)-a=3a 1(即(a1)=a3a 1)。

当a=1: 2-1=3 13 11时。

当a=2: 3-2=3 23 21时。

当a=3: 4-3=3 3 3 3 1时。

当a=4: 5-4=3 43 41时。

……

当a=n时：(n ^ 1)-n=3n ^ 3n ^ 1。

将等式的两边相加：

(n 1) -1=3(1 2 3 .n ) 3(1 2 3 .(1 1 1 .1)

3(1 2 3 。n=(n1)-1-3(1 2 3 .n)-(1 1 1 .1)

3(1 2 3 。n=(n 1)-1-3(1n)n2-n

6(1 2 3 。n )=2(n 1) -3n(1 n)-2(n 1)

=(n 1)[2(n 1) -3n-2]

=(n 1)[2(n 1)-1][(n 1)-1]

=n(n ^ 1)(2n ^ 1)

1 2 。n=n(n ^ 1)(2n ^ 1)/6

2.从1到n ^ :1 ^ 3 ^ 3 ^ 3 ^ 3…n ^ 3=[n(n ^ 1)/2]2的立方和的求导。

推导出：(n(1)4-n 4=4n 36n 24n 1，

n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3 6(n-1)^2 4(n-1)1，

……

2^4-1^4=4*1^3 6*1^2 4*1 1,

将这n个方程的两端分别相加，得到：

(北1)^4-1=4(1^3 2^33^3…n^3)6(1^2 2^2…n^2)4(1 2 3…n)北

如1 2 3 … n=(n 1)n/2，

1^2 2^2 … n^2=n(n 1)(2n 1)/6，

代表人说完后：

1^3 2^3 3^3 … n^3=[n(n 1)/2]^2