你不知道的椎间盘应力分析—— | 2021数感杯|高中项目|银奖

作者：吴，周永春中学

“数感杯青少年写作大赛”为中高职学生提供了一个发展数学素养的绝佳舞台。本次比赛鼓励学生从不同领域学习，应用数学知识，培养和展示学生的逻辑思维和写作能力，并希望促进台湾省青少年的科普写作氛围和对数学的兴趣。本文是2021年数感杯青少年写作大赛/高中组专题报道的代表作。为了尽可能完整的呈现学生的作品，本文除了第一张图、标点符号和错别字外，没有做任何重大的编辑。

我从高一开始加入舞蹈社，认识一个二十多岁的舞蹈老师。在一次练习中，他说自己因为一个空翻失误导致了椎间盘突出。后来听说有个篮球教练也是因为长期锻炼出现了椎间盘突出的问题。我身边也有几个长辈年轻时经常搬运重物，导致椎间盘突出。

我开始疑惑，椎间盘突出到底是什么？我们查了一下资料，发现很多从事搬运重物的工人和年轻运动员都有“腰痛”和四肢麻木的症状。经检查发现，腰痛、四肢麻木等这些问题都是“椎间盘突出”引起的。

图//envato elements一些健康网站或新闻建议先蹲下再搬运重物的姿势，可以避免椎间盘突出的问题。我们尝试用一个简单的模型来讨论这些日常生活中的“不同姿势对椎间盘造成的压力”的问题。

00-1010首先让我们对脊柱的结构有个大概的了解。每个人都有33块椎骨，其中颈椎7块，胸椎12块，腰椎5块，推荐椎骨5块，尾椎4块。每个脊柱由椎间盘、小关节和韧带连接。

00-1010连接上下椎骨，有保护缓冲作用。由内向外的结构依次为髓核、纤维环和软骨板(终板)，其中髓核是椎间盘最重要的部分，其内部为胶状物质，可随外界压力改变形状，负责缓冲功能。

壹、脊椎结构

主要负责稳定两个相邻的椎骨，表面有相对的软骨(作为骨骼的缓冲)，周围有关节囊(润滑)。

图/颈/脊柱的结构与功能图/颈/脊柱的结构与功能

（一）椎间盘

俗称“椎间盘滑脱”，是指位于椎间盘中间的胶状髓核受到挤压，压迫到神经、韧带和硬脊膜，或从外纤维环的裂隙中流出。一般可以分为两种情况：

图/《背部保健学习百科》10

（二）小关节

因为无法测量实际的骨骼，我们问了生物老师，生物老师帮我们在卫生室拿到了腰椎模型，拿到了长约3cm，宽约2cm，椎间盘间距1cm的腰椎。

首先，我们在矩形的假设下讨论脊柱的横截面：脊柱不弯曲时，完全承受法向力的横截面积约为6 cm=0.0006 m。

腰椎测量。图/作者提供接下来，我们来考虑一个身高170 cm，体重60 kg的人举起10kg=100N的物体；假设上身重量占总体重的75%，那么这个人的上身重量就是6075%=45kg=4500N N。

因为椎间盘突出大多发生在尾椎的位置，所以我们用尾椎的第三、四节来讨论。如下图所示，当我们弯腰时，上脊柱与下脊柱的夹角为，那么下脊柱的垂直受力面积为2 cos 3(cm2)。首先，我们计算下接触面的压力。

我们将使用正应力的公式：\ (\ sigma=\ frac {p} {a} (pa \，or \，n/m {2}) \)

00-1010假设搬动重物时，直接下蹲，脊柱完全不弯曲，此时弯曲角度为0，椎间盘单位面积受力为(1004500)0.0006=766666 Pa。

贰、甚么是椎间盘突出？

假设移动重物时，一个膝盖向下弯曲，轻微弯曲。考虑到此时脊柱的弯曲角度在10左右，那么椎间盘

单位面积所承受的力为 (100+4500)÷0.0005908=7786052Pa

（三）站立弯腰

假设搬重物时直接弯腰，考虑此时脊椎弯曲角度达到最大限度，约为 30°。那么椎间盘单位面积所承受的力为 (100+4500)÷0.0005196=8852963Pa

脊椎不同弯曲角度之受力分析

接下来我们进一步考虑椎间盘内部，如下方示意图。其中 AB 线段从 A 处开始依序通过了纤维环、髓核，再到达前方 B 处的纤维环；C、D 是线段通过髓核的两侧端点；O 是脊髓中点。经剖面图测量估计，\( \overline{AC}:\overline{CD}:\overline{DB} \) ≒ 1:4:1

假设上方正向力的大小是 F，在脊椎未弯曲的情形下，也就是 0° 时，受力是平均的，所以每一个部分的平均正向应力皆相同。若有弯曲的状况，考虑从 A 点到 B 点的範围，从 0 均匀增加到 2F 的受力分布；在这个状况下，虽然平均受力仍然是 F，但在 \( \overline{AC} \) 、 \( \overline{CO} \) 、 \( \overline{OD} \) 、 \( \overline{DB} \) 四个对应範围的正向应力也会有所不同，受力範围也个别不同。

可推算出各範围正向力：\( \overline{AC}\approx \frac{F}{6} \) 、\( \overline{CO}\approx \frac{2F}{3} \) 、\( \overline{OD}\approx \frac{4F}{3} \) 、\( \overline{DB}\approx \frac{11F}{6} \) 。

以下是各个对应範围的正向应力分析：

从上面表格中可以发现，用错误的姿势搬重物，对于纤维环的压力甚至可能达到正确姿势的 \( \frac{21153}{1666}\approx 13 \) 倍以上！

在一开始讨论的例子中，F 的值是 4600N，水深增加 1m，压力大约就增加 101.3hPa，所以 m=xF÷100÷101.3hPa，换算出这些压力对应到在海里大约是多少深度：

肆、结论

由上表得知当脊椎弯曲 30° 时， \( \overline{DB} \) 部分纤维环所承受的压力是 0° 时的 13 倍，且超过了 人体极限的 32 倍（人类自由潜水最深纪录为 300m），换算成海的深度就接近世界上第六深的海沟——克马德克海沟（深度约 10047 m）的底部，难怪对椎间盘会造成这么大的伤害！

所以我们要用正确的姿势搬重物，对椎间盘造成的伤害也会大幅的降低，透过这次的数学模型分析，我们才了解到错误的动作会对椎间盘承受的压力有多大，因此希望大家好好保护自己的脊椎，不要再直接弯腰下去拿重物了！

引注资料：

• 《腰痛》／长谷川淳史
• 《背部保健学习百科》／John Tanner
• 颈／脊椎的结构与功能
• 应变 Strain & 应力 Stress （原文的连结有误）
• 脊椎生物力学（原文的连结有误）

• 台湾杰出女科学家系列专访，持续更新中！