python实现中心极限定理(用python求极限limit)

本文主要讲解“Python如何实现中心极限定律”。本文的解释简单明了，易学易懂。请跟随边肖的思路一起学习学习《Python如何实现中心极限定律》！

在整个概率论中，核心问题是随机变量的分布。就像我们现在这样

离散和

在连续分布中可以看到多种分布。更重要的是，在满足中。

在概率公理的前提下，我们可以自己设计分布。想象一下，如果有一天一本Vamei分布印在一本数学书上，那是多么美妙的事情！然而，这个愿望并不是那么容易实现的。那些“名人”分布，如泊松分布、高斯分布和伯努利分布，在理论上往往非常重要，因此被数学家们深入研究。“众所周知”分布的特征(如它们的期望、方差和累积概率函数)在数学手册中很容易找到，这些研究成果已经成为概率论“武库”的重要组成部分。

另一方面，概率分布有没有共性？我们的许多结论取决于具体的分布类型。一个分布成立的结论可能对另一个分布不成立。对任何分布都成立的结论可以大大简化我们的研究。这在自然科学和社会科学的研究中是极其重要的。这些学科的研究有很多随机变量。例如，为了研究金矿，往往需要知道石头中含金量X的概率分布。然而，这些随机变量的分布类型无法提前知道(甚至永远无法准确知道)。这样，整个研究就停在了第一步。如果我们能得出对任何分布都成立的结论，那么我们就可以继续这个结论。

有时候大自然比我们想象的要慷慨，它给出了一套在概率论中相当核心的定律：中心极限定理。这套定律不仅适用于任意分布，还提醒我们要特别注意正态分布。我们来看看中心极限定律是怎么说的。

00-1010我们先来看看中央极限定律：的一个版本。

随机变量X1，X2，XnX1，X2，Xn是独立的随机变量，具有相同的分布(iid，独立且可识别的分布)。分布的期望值为 ，方差为22，、 和都是有限值，00。这些随机变量的平均值为x=1nni=1xx=1nI=1xi。设 n=x /n n=x /n，那么

LiMnP(nz)=(z)LiMnP(nz)=(z)

其中 (z) (z)是标准正态分布的分布函数。

简单地说，我们寻找n个IID随机变量的平均值。当n接近无穷大时，这个平均值(一个新的随机变量)接近正态分布。

(通过nn的变换，可以由正态分布的X X导出标准正态分布nn。)

00-1010下面我们取n个IID随机变量，让它们都符合=1=1的指数分布，观察它们均值的分布。为了观察它们的分布，我们用随机数发生器采样10000次。也就是说，进行了100，000个实验，每个实验获得了一组随机变量的值，并获得了平均值。总共获得了10000个平均值。画出平均分布的直方图。

在三种情况下，让n分别等于1，20，100:

在第一种情况下，x=x1/1=x1x=x1/1=x1，即xx本身是指数分布。

在第二种和第三种情况下，平均值的分布越来越偏离指数分布，分布的形状接近正态分布。

代码如下：

# by vamei # CentralLimitTheory # Xisexeponentaldistributionwith lambda=1 importtmatplotlib . pyplotaspltimporttnumpsynpsycpy . statsimporttexpon # Getonsampleof(X1 X2.XN)/指数分布，=1

one_sample=expon.rvs(scale=1，size=N)returnone _ sample . mean()#递增：1，20，1000。

 # Demo of Central Limit Theory in histogramplt.figure(figsize=(12, 4))for N, subp in zip([1, 20, 1000], [131, 132, 133]):    # generate samples 
    all_means = np.array([sample_mean(N) for i in range(10000)])    # plot figure    plt.subplot(subp)
    plt.hist(all_means,bins=100,color="blue")
    plt.title('Central Limit Theory n=%i' % N)
    plt.xlabel('sample means')
    plt.ylabel('Frequency')
plt.tight_layout()
plt.savefig('./central_limit.png', dpi=None, facecolor='w')

练习：这段代码检验的是指数分布的均值。可以改写成检验其它分布是否符合中心极限定律，比如均匀分布的均值。 

证明 

我将使用矩生成函数来证明上面的定律。假设Xi−μXi−μ的矩生成函数为M(t)M(t)。因此，M′(t)=μ,M(2)(t)=σ2M′(t)=μ,M(2)(t)=σ2。

当n趋近无穷时，t/(σn−−√)t/(σn)趋近0。M(t)可以展开为:

M(t)=1+12σ2t2+o(t2)M(t)=1+12σ2t2+o(t2)

o(t2)o(t2)表示比t2t2更高阶的t的乘方。

根据矩生成函数的性质，ζnζn的矩生成函数写为

Mζn=[M(tσn−−√)]n=(1+t22n+o(t2/n))nMζn=[M(tσn)]n=(1+t22n+o(t2/n))n

o(t2/n)o(t2/n)表示，当n趋于无穷时，早于t2/nt2/n消失的项。

(根据微积分，证明从略)：当n趋近于无穷时，上面的表达式趋近：

Mζn(t)→et2/2Mζn(t)→et2/2

这正是标准正态分布的矩生成函数。因此ZnZn的分布趋近于标准正态分布。

上面介绍的中心极限定律有一个先决条件，即产生均值的N个随机变量为IID(独立、同分布)随机变量。在其它的版本的中心极限定律中，各个随机变量可以不完全独立。事实上，中心极限定律是一个还在积极研究中的领域。

花边

中心极限定律的原型可以追溯到18世纪de Moivre的研究。他经过实验发现，大量正面抛硬币的话，结果(1：正面，0：反面)的均值是一个正态分布。这里，de Moivre研究的分布是多个伯努利分布的随机变量的均值。

硬币投掷：均值的分布

(想像一下，当时没有计算机，更别说随机数生成器了。为了检验结果，de Moivre真的投了几千次硬币…… 数学家是很神奇的动物)

为了更加直观的理解中心极限定律的结果。我们来设想一下，如果一个大米缸中混装了黑白两种米，各占一半。从中随便抓一把，这一把中有n个米粒。如果n比较小的话，那么很有可能出现一些极端值，比如n = 3，出现三个纯白的米粒。但是，如果“一把”很大，比如1000颗米粒，那么出现1000个米都是白色的概率很小，而白米和黑米一半一半的概率很大，也就是一个类似于正态分布的分布方式。

我们可以将中心极限定律方便的用于许多统计问题。需要注意的是，中心极限定律要求n趋近无穷。在实际应用中，我们往往让n等于一个“足够”大的数，比如上面的1000。这个数字是否足够大呢？这取决于X是什么样的分布。对于某些分布来说，均值分布趋近于正态分布的速度很慢，这要求我们采用更大的n值。

感谢各位的阅读，以上就是“Python怎么实现中心极限定律”的内容了，经过本文的学习后，相信大家对Python怎么实现中心极限定律这一问题有了更深刻的体会，具体使用情况还需要大家实践验证。这里是，小编将为大家推送更多相关知识点的文章，欢迎关注！