CodeChef Weird Product

奇怪的产品

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？设\(p_k=\sum\limits_{i=1}^ka_ix^i\)，且\(p_0=0\)。则\(\对于所有1 \ le I \ le j \len,\,w(i,j)=\dfrac{p_j-p_{i-1}}{x^i}\)。于是有

\[\begin{align*}p=\prod_{i=1}^n\prod_{j=i}^nw(i,j)^2\\=\left(\prod_{i=0}^n\prod_{j=i 1}^n\dfrac{p_j-p_i}{x^{i 1}}\right)^2\\=\dfrac{\left(\prod\limits_{i=0}^n\prod\limits_{j=i 1}^n(p_j-p_i)\right)^2}{x^{2\times \sum\limits_{i=1}^ni\cdot(n-i)}}\end{align*}

\]上式中的分母很好计算，现在主要考虑如何计算分子。

？注意到\((p_j-p_i)^2=-(p_j-p_i)\cdot(p_i-p_j)\)，则可以考虑将分子变形为

\[\begin{align*}\operatorname{numerator}(p)=(-1)^{\frac{n\cdot(n 1)}{2}}\prod_{i=0}^{n}\prod_{j\neq I }(p _ j-p _ I)\ end { align * }

\]设\(f(I)=\ prod \ limits _ { j \ neq I }(p _ I-p _ j)\)，那么有

\[\begin{align*}\operatorname{numerator}(p)=(-1)^{\frac{n\cdot(n 1)}{2}}\prod_{i=0}^{n}(-1)^{n}f(i)\end{align*}

\]可以考虑直接将\(f(0\ldots N-1)\)求出来。

？注意到\(f(i)\)的结构非常相似，因此我们的想法是找到一个多项式\(F(x)\)满足\(f(i)=F(p_i)\)。如果找到了这样的\(F(x)\)，那么就可以对\(F(x)\)做一遍多项式多点求值来求出\(f(i)\)。

？于是我们可以考虑类似于拉格朗日插值定理那样的方式去构造：设\(f(x)=\sum\limits_{i=0}^n\prod\limits_{j\neq I }(x-p _ j)\)，则有等式\(F(p _ I)=\ prod \ limits _ { j \ neq I }(p _ I-p _ j)=F(I)\)。那么又该如何将\(F(x)\)求出来呢

？让我们先考虑另一个多项式\(g(x)=\prod\limits_{i=0}^n(x-p_i)\)。那么就有\(f(x)=\sum\limits_{i=0}^n\dfrac{g(x)}{x-p_i}=g'(x)\)。于是只要将\(G(x)\)求出来再对其求导就行了。

？至于如何求\(G(x)\)可以用启发式合并NTT的方法，时间复杂度为\(\数学cal o(n \ log ^2n)\)；对\(F(x)\)进行多项式多点求值的时间复杂度也是\(\数学O(N\log ^2N)\)的。总时间复杂度就是线对平方。

参考代码

#包含位/stdc .h

使用命名空间标准；

/**

此处省略多项式全家桶的模板

**/

静态常量expr值_ t mod=poly : p；

内联value_t add(value_t x，value _ t y){ return(x=y)=mod x-mod : x；}

内联value_t mul(value_t x，value _ t y){ return(int 64 _ t)x * y % mod；}

内联value_t add_eq(value_t x，value_t y) { return x=add(x，y)；}

inline value_t mul_eq(value_t x，value_t y) { return x=mul(x，y)；}

内联值_t qpow(值_t x，int 64 _ t y){ 0

value _ t r=1；

for(；y；y=1，mul_eq(x，x))

(y 1) (mul_eq(r，x))；

返回r；

} //qpow

static constexpr int Maxn=1e5 5

int N；

value_t X，iX，Xp，A[Maxn]；

value_t p[Maxn]，P；

poly getG(int l，int r){ 0

if (l==r)返回保利{！p[l] 0 : mod – p[l]，1 }；

int mid=(l r)1；

返回getG(l，mid) * getG(mid 1，r)；

} //getG

int main(void){ 0

内部测试；

scanf(“% d “，测试);

而(测试-){ 0

scanf(‘%d%u ‘，N，X)；

p[0]=0；XP=1；

iX=qpow(X，mod-2)；

for(int I=1；I=N；I){ 0

scanf(‘%u ‘，A[I])；

p[i]=add(p[i – 1]，mul(A[i]，mul_eq(Xp，X)))；

}

自动f=getG(0，N).导数()。求值（向量(p，p ^ n1)；

bool neg=((int 64 _ t)n *(n ^ 1)/2)% 2==1)；

value _ t num=1；

for(int I=0；I=N；i) mul_eq(num，f[I])；

int 64 _ t exp=(int 64 _ t)n *(n ^ 1)*(n ^ 2)/3；

exp %=(mod-1)；

value_t dinom=qpow(iX，Exp)；

P=mul_eq(num，dinom)；

printf(‘%u\n ‘，neg(！P 0 : mod-P): P)；

}

退出(EXIT _ SUCCESS)；

} //main