关于计算机中使用补码运算

浅谈补码运算在计算机中的应用

1. 原码、反码、补码简单介绍

原始代码、补码和补码是带有一个符号位的有符号数的二进制表示，对应于相同的真值。

原始代码的带符号位被直接读取为真值。

三个正数合二为一。

负数的补码是符号位不变(即保持为1)，其余位反相(可以用同样的方法做相反的转换)；

负数的补码是符号位保持不变(即保持为1)，其余位反相后，最后一位加1(反向转换也可以用同样的方法)。

进一步理解：

原始代码：符号-幅度。以一个典型的8位二进制为例(如不说明，下同)，8位可以分为符号位和幅度区，幅度区是最后7位。

反码：一的补码。人们常说，通过否定运算得到反码的方法，本质上是从1的补码推导出来的。-X的补码(X为正整数)等于1111 1111减去X的8位二进制原码表示(注意前1为符号位，可以参与这里的减法运算。因为被减数是正整数的原始代码，所以符号位是0。用1减去这个0，结果是1。因此，不需要从1的最后7位减去X的原始码的最后7位，然后保持第一位为1，但所有8位都可以直接参与减法)。例如-3的补码可以得到如下：1111 1111-0000 0011=1111 1100，与反相运算得到的结果一致(在反相运算的情况下，原码1000 0011符号位保持不变，其余位反相1111 1100)。

补语：二的补语。这里的二是指2 ^ 8的原码，-X (X为正整数)，等于2 ^ 8减去X的8位二进制原码表示，即1 ^ 0000 ^ 000减去X的8位二进制原码表示(注意2 ^ 8需要用9位表示，前1参与减法)。很明显，2 ^ 8比1111 ^ 1111大1，和平时取逆加1正好一样(取逆加1可以帮助快速计算；2 8-x有助于理解补码运算是如何工作的)。

2.补码运算是如何生效的

首先有三种操作：正数加正数；加一个正数和一个负数；负数加负数(计算机只做加法，因为如果做减法，电子元器件需要增加成本才能完成相应的物理实现)。只讨论加数、加数、减数和子树的绝对值小于或等于幅度区域最大值的情况，如8位二进制表示中的127。

1.正加相对简单，省略。

2.为了方便，正加负：把上面提到的8位二进制改成了4位二进制(包括第一个符号位)，0111=7是可以表示的最大正数。

以结果为正的情况：5-3为例。-3的补码是1 0000-0011=1101。上述操作表明，在1101的基础上加3(即0011)，即2 4=16=1 0000，可以完全实现该模块，使最后4位清零。5-3相当于(-3) 5。在加5的过程中，满模块被3清零。为了完成添加5的操作，需要继续添加2。添加2的操作完成后，添加操作完成。只需得到010，即2的补码，5-3=2的运算就在计算机中完成了。

以结果为负的情况：的3-5为例。首先详细描述一下运算过程：5的补码为1 0000-0101=1011，(-5) 3: 1011 0011=1110，1110的第一位数字为1，为负数，其绝对值对应的原码为1 0000-1110=0010，即绝对值为2则为1110。首先获得结果的补码1110。在获取原码对应补码的过程中，使用“1 0000-1110=0010”，对应真值到补码的逆运算。真值的绝对值通过这个表达式得到，真值-2通过将0010的第一个0改为1得到。事实上，如果采用逆加一的方法，可以更快地完成原码和补码的相互转换：所有符号位不变(即保持为1)，其余位反相后，最后一位加1，t

“结果为正的情况”与“结果为负的情况”如何统一理解：-A运算，一般来说，相当于用A在模块中挖洞(2 ^ 8=256为8位二进制)，然后用B来填充。具体来说，首先取模-A，得到-A的补码，其符号位为1。然后开始添加B(1)如果B小于A，则模块无法填充。-A的补码与B相加后，相加结果小于1 0000，即小于等于1111，符号位保持1，仍为负。但加法运算使模数更接近填充，运算结果对应的真值绝对值更接近0，负数更少为负数。而b越大，结果越不负，因为1 0000-(-A的补码加b)对应的是结果绝对值的真值，b越大，结果真值的绝对值越小。考虑到结果是负面的，就没那么负面了。(2)如果

B大于A，那么模将填满，-A的补码加上B后，相加结果大于1 0000，即大于1111，满模溢出，使得符号位由1变为0，从而使运算结果变为正数，此时B越大，运算结果所对应的真值作为一个正数其绝对值越大；（3）可以看到，利用补码进行运算，并令符号位参与运算，能够：满模溢出时符号位变号，使得结果从负变为正；随B的增大，运算结果的绝对值先减小再增大；这符合数学认知。

　　3.负加负：1xxx + 1xxx的结果必然溢出，且结果是1 0xxx还是1 1xxx中的一种，前者表示无溢出，后者表示有溢出。至于计算机识别、处理溢出的细节和负加负运算的细节，没弄明白，故不讨论

3.利用原码、反码进行运算的劣势

（此处图片，截取于参考资料1）

参考资料：

1. 为什么计算机采用补码而不是原码或反码 – 醉卧沙场的回答 – 知乎 https://www.zhihu.com/question/352057791/answer/876413629